De la trasaj la geometrie digitală (1)

 Îmi amintesc că în martie 1969, când am plecat la armată, Institutul se numea I.C.P.A.S și avea sediul în str. Mora, lângă Televiziune. În luna septembrie când m-am întors se chema I.M.F.C.A, se mutase și avea sediul la Băneasa, unde au fost niște garaje, acum clădire nefolosită, unde a fost Antena 1.
Mă cheamă la el, dl. Ștefănescu Ioan, actualmente general în retragere. Lucra la o planșetă împreună cu ing. Copăescu Alexandru. Eu fiind matematician, mi-a cerut colaborarea. Curbelor acelea aerodinamice de pe planșetă li se cerea o haină matematică.
A fost momentul de start al meu în trasaj aeronave, cum se numea atunci definirea geometriei unui avion. Prima unealtă a fost un calculator mecanic SOEMTRON, nu-mi aduc aminte seria, deși am căutat acum pe internet, nu am găsit fotografia unui model așa vechi. Nu avea de unde să parvină în institut dacă nu ar fi fost adus în țară încă din perioada interbelică. Semăna cu o mașină de scris și efectua cele 4 operații de bază +, -, x și ÷ prin învârtirea unor roți dințate și culisarea unui car. La executarea unei operații, mișcarea carului producea un zgomot asurzitor, de te gândeai că mișcarea carului ar fi fost utilă să macine cafea. 

Trasajul pentru mine a fost înțeles din momentul când specialiștii sârbi, cu care s-a început colaborarea la avionul IAR93 (proiect YUROM) au venit la București. Ei au  venit cu 3 cartoane speciale:
un carton era realizat din două foi mai groase, care erau lipite pe cele două fețe ale unei folii metalice foarte subțiri. Acesta triplă folie asigura stabilitatea suprafeței sale, în special la variații de temperatură. Cele 3 cartoane conțineau curbele de intersecție ale fuzelajului cu familii de plane paralele cu planele de coordinate Oxy, Ozd și Oxz.

Aceste secțiuni au fost create de ei, cu baghete din nuc cu secțiuni pătrate cu o elasticitate foarte mare, florare, linii, arce de cerc și folosind regulile geometriei descriptive, cu rezultate pe care matematicianul din mine le vedea in felul următor:

– planul Oyz era plan transversal prin fuzelaj în lungul său,

– planul Oxz era planul de simetrie al fuzelajului

– iar planul Oxy rezulta;

În planul Oxz s-a definit curba punctelor S, care reprezintă conturul superior al fuzelajului și de asemenea curba punctelor J, care reprezintă conturul inferior al fuzelajului. O alta curbă importantă a fuzelajului o reprezintă locul geometric al punctelor L in care fuzelajul are lățimea maximă, sau altfel spus este punctul de pe conturul transversal în care tangenta este verticală, deci avem următoarele notații:

S-au considerat planele transversale(paralele cu Oyz) corespunzătoare pozițiilor teoretice ale cadrelor, ale căror contururi au fost desenate pe primul carton:

Fiecare contur transversal a fost intersectat cu o familie de plane paralele cu planul Oxy:

Intersecția fiecărui plan a produs un număr de puncte care au fost plasate pe al doilea carton, punctele fiind unite folosind baghete de nuc, florare, etc.

Pe al treilea carton in mod similar s-au obținut curbele corespunzătoare intersecțiilor transversale, intersectate cu paralele cu planul Oxz.

Familia de plane paralele cu planul Oxz, este plasată între Y=0 si Y<=ym, unde ym are valoarea maximă a curbei yl(x), punctele L.

Similar, familia de plane paralele cu planul Oxy, este plasată între Z<=zsus, zsus fiind valoarea maximă pentru z=zs(x), punctele S si Z>=zjos, zjos fiind valoarea minimă pentru z=zj(x), punctele J.

Procesul pentru definirea trasajului pentru fuselaj a continuat prin transferarea unor puncte intre cele 3 cartoane. Transferarea unor puncte apărea dacă pe un carton, o curbă prezenta o alură care necesita modificări. Zona modificată era intersectată cu planele cadrelor aferente zonei, obținând puncte care sunt transferate în celelalte două cartoane, în care folosind noile puncte, curbele sunt modificate în consecință.

Punctele de transfer între cartoane se obțin și din analiza poziției unei curbe pe un carton în raport cu una sau două curbe vecine, în situația când vizual nu sunt omotetice(distanța între ele nu este uniform crescătoare sau descrescătoare).

 În general trasarea unei curbe prin puncte folosind de obicei baghete din nuc, era foarte dificilă, fiind necesare mâini de aur, așa cum au fost ale maestrului nea Jenică Pârvulescu, un adevărat artist. La desenarea curbelor prin puncte, pe lângă creion se mai foloseau niste așa ziși ‘călăreți’ de plumb care aveau cca 1 kg și un cioc, care presa(fixa) bagheta într-un punct dorit; pentru a desena o curbă se foloseau un număr de ‘călăreți’, depinzând de cât de mult se arcuia bagheta. În unele cazuri nea Jenică lovea cu creionul ‘călăreții’ pentru a forța ca bagheta să treacă printr-un punct dorit. Această manevra a lui nea Jenică, m-a inspirat să folosesc pentru prima dată funcțiile spline în aviația din țară, chiar dacă nu știam că așa se numesc. De ce am folosit funcțiile spline? La un moment dat am înlocuit cartoanele cu metode numerice, care au condus la definirea fuzelajului astfel:

Un ‘călăreț’ era o piesă metalică de forma:

Dacă luăm ca exemplu un profil aerodinamic, am simulat o bară orizontală ideal elastică în punctual de maxim al profilului aerodinamic. Pe bara elastică în punctele corespunzătoare nodurilor profilului aerodinamic, se aplică câte o forța concentrată. Prin suprapunerea efectelor n noduri, bara elastică se va deforma. Forțele concentrate aplicate se determină astfel încât bara să se așeze pe profil, forma barei va fi o curba spline:

De obicei eu foloseam conicele, care sunt curbe de gradul 2 obținute prin intersecția unui plan inclinat cu suprafața unui con drept. Am folosit arce de conică înlănțuite si racordate, care în general au dat rezultate, în aviație, naval sau auto. Dar când a fost vorba de profile aerodinamice rezultatele nu au fost mereu cele dorite, iar simularea baghetei și călăreților lui nea Jenică Pârvulescu m-a scos din încurcătură.

Cum toată lumea își dădea doctorate, mă gândeam să mă înscriu și eu cu o teză intitulată Contribuții la folosirea funcțiilor Pârvulescu la digitizarea geometrică in domeniu aerospațial.

Am aflat însă în 1974 ca urmare a unei școlarizări la ‘Fokker’ sucursala Bremen, că încă din 1971, eu de fapt foloseam funcțiile spline.  În acea perioadă l-am avut îndrumător de dl. Winkelman, care mi-a fost un sfătuitor minunat. Deoarece programul lor dedicat geometriei avionului VFW 614, la care lucrau era confidențial, mi-a oferit în schimb orice informație sau carte dorită. Astfel am asimilat suprafețele definite matricial de Steven Coons. Ulterior am realizat integral geometria avionului IAR-93, pe care prezentând-o sârbilor pe mașina automată ‘Kongsberg 1845’(1800 înălțime și 4500 lungime) au rămas muți de uimire. Mai târziu am aflat că o lucrare de a mea, trimisă acolo pentru asimilare a fost tradusă de un sârb, cu care a câștigat premiul orașului Belgrad.

Dar băieții erau simpatici:

S-a întâmplat ca  una din primele delegații din Iugoslavia, formată din 3 persoane să fie cazată la hotelul ‘Victoria’, care astăzi nu mai există (era între magazinul cu același nume și clădirea CEC). În prima seară s-au dus sa mănânce la restaurantul hotelului. Limba sârbă era necunoscută acolo, motiv pentru care discuțiile dintre membrii delegației și ospătari au fost un adevărat chin. Într-un final, miraculos, s-au înțeles asupra tradiționalilor mici. Consternați ospătarii au luat o comanda de 80 mici. Și mai consternați au fost sârbii când au văzut muntele format din micii comandați. Realitatea este ca în Iugoslavia un mic avea mai puțin de 2cm lungime și diametrul mai mic de 1cm. N-au știut că micul nostru e mare!

matematician

Dan Vătui